求证2|x+3|+|x+1|>=2

分段讨论
x<-3
x+3<0,x+1<0
2|x+3|+|x+1|=-2x-6-x-1=-3x-7
x<-3,-3x>9
-3x-7>2

-3<=x<=-1
x+3>=0,x+1<=0
2|x+3|+|x+1|=2x+6-x-1=x+5
x>=-3,x+5>=2

x>-1
x+3>0,x+1>0
2|x+3|+|x+1|=2x+6+x+1=3x+7
x>-1
3x>-3
3x+7>4

所以2|x+3|+|x+1|>=2

当x≤-3时,
-2x-6-x-1 = -3x-7
f(x)=-3x-7(x<-3)≥2
当-3<x<-1时,
2x+6-x-1 = x+5 ≥ 2
当x≥-1时,
2x+6+x+1 = 3x+7 >2
故 综上所述,2|x+3|+|x+1|≥2
证毕.

当x<=-3 原始=2(-x-3)+(-x-1)=-2x-6-x-1=-3x-7 x=-3时有最小值 -3*(-3)-7=2 所以原始>=2
当-3<x<=-1 原始=2(3+x)+(-x-1)=2x+6-x-1=x+5>2
当-1<x 原始=2(x+3)+(x+1)=2x+6+x+1=3x+7>2
综上所述原始>=2